신비의 수 142857의 비밀, 찾았다 > 자유 게시판

최근 여섯 자리 숫자 142857이 누리꾼 사이에서 ‘이상한 수’ ‘신비의 수’ ‘신이 만든 숫자’ ‘놀라운 수’라는 이름으로 화제가 됐다.

이 수에 2나 3, 4, 5, 6을 곱하면 원래 이 수를 구성하는 6개의 숫자가 자리만 바뀔 뿐 그대로 존재한다. 또 나온 결과를 3자리씩 둘로 끊어서 더하면 모두 다 999라는 같은 값이 된다.

●142857의 신비로운 성질

실제로 숫자 142857에 1에서 6까지의 숫자를 곱해 보자. 그리고 곱한 값을 3자리씩 끊어서 더해보자. 1에서 6까지 곱했을 때 나온 값을 자세히 보면 1, 4, 2, 8, 5, 7이라는 숫자 6개가 자리만 바뀌었을 뿐 그대로 반복된다는 사실을 확인할 수 있다. 하지만 7을 곱하면 142857×7=999999가 된다.

142857×1=142857 → 142+857=999 999=857+142 ← 857142=6×142857
142857×2=285714 → 285+714=999 999=714+285 ← 714285=5×142857
142857×3=428571 → 428+571=999 999=571+428 ← 571428=4×142857

곱한 값을 3자리씩 끊어서 더한 경우 모두 999가 된다는 것도 볼 수 있다. 더 자세히 살펴보면 흥미로운 점을 하나 더 발견할 수 있다. 1과 6을 곱해 3자리씩 끊어 놓은 값을 비교해 보자. 앞뒤의 3자리 수가 서로 대칭인 것을 확인할 수 있다. 2와 5, 3과 4를 곱해 3자리씩 끊어 놓은 값을 비교해도 마찬가지다.

더 재미있는 사실도 있다. 142857에 두 자릿수나 세 자릿수 중 아무 수나 곱해 보자. 이렇게 해서 나온 값을 맨 뒤쪽에서부터 3자리씩 끊어서 더해 보자. 신기하게도 결과가 모두 999가 된다는 걸 확인할 수 있다. 그런데 항상 999가 되는 것은 아니다. 예외적으로 1998이 되는 경우가 있다. 왜 이런 차이가 나타나는 것일까?

142857 × 78 = 11,142,846 → 11+142+846 = 999
142857 × 571 = 81,571,347 → 81+571+347 = 999
142857 × 77 = 10,999,989 → 10+999+989 = 1998
142857 × 966 = 137,999,862 → 137+999+862 = 1998

77과 966을 곱한 값을 자세히 보면 9가 많은 것을 확인할 수 있다. 142857에 7을 곱하면 999999가 됐던 것을 떠올려 보자. 그렇다. 77과 966 모두 7의 배수다. 7의 배수를 곱할 경우에는 999의 2배인 1998이 된다. 하지만 이 값도 999의 배수다. 네 자릿수나 자릿수가 다섯 이상인 수를 곱하면 어떨까? 이때도 999나 999의 배수가 나오는 것을 확인할 수 있다.

흥미롭게도 142857을 2자리씩 끊어서 더하면 14+28+57=99가 된다는 사실도 알 수 있다. 또 142857을 제곱하면 ‘20408122449’라는 수가 나오는데, 이를 둘로 끊어서 더하면 원래의 수가 나온다. 즉 20408+122449=142857이다.

●142857의 비밀은 순환소수

그런데 142857은 왜 이런 특성을 보이는 걸까? 142857의 비밀을 간단하게만 소개하면 분수, 더 정확하게는 순환소수에서 찾을 수 있다.

142857이 신기한 수임에는 틀림없다. 하지만 이 수의 비밀을 안다면 이보다 다른 수에 더 관심을 가질지 모른다. 142857처럼 ‘수의 마술’을 펼칠 수 있는 새로운 수를 찾을 수 있기 때문이다.

이렇게 찾아낸 18자리 수인 052631578947368421는 142857보다 더 재미있는 특성이 있다. 바로 가로, 세로, 대각선의 합이 81인 완벽한 마방진을 이룬다. 142857이 가로와 세로의 합이 27로 같지만 대각선의 합이 다른 ‘불완전 마방진’을 만드는 것과는 다르다. 142857보다 더 신비로운 수인 셈이다.

수학동아 8월호는 142857의 비밀과 원리, 142857보다 더 신비로운 18자리 수인 052631578947368421, 자신만의 신비로운 수를 찾을 수 있는 방법 등을 자세하게 소개하고 있다.

박응서 동아사이언스 기자 gopoong@donga.com" target="_blank" rel="noreferrer noopener">gopoong@donga.com