피타고라스 정리의 역, 피타고라스 3쌍 구하기
피타고라스의 정리는 그 역도 성립한다. 즉, 세 변의 길이가 각각 a, b, c인 어떤 삼각형이 a2+b2=c2을 만족하면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. 피타고라스의 정리와 그 역을 만족하는 세 정수 a, b, c의 쌍 (a, b, c)를 피타고라스 3쌍이라고 하는데, 가장 작은 수가 40 이하인 경우 피타고라스 3쌍은 다음과 같다. (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (6, 8, 10) | (7, 24, 25) | (8, 15, 17) | (9, 12,15) | (9, 40, 41) | (10, 24, 26) | (11, 60, 61) | (12, 16, 20) | (12, 35, 37) | (13, 84, 85) | (14, 48, 50) | (15, 20, 25) | (15, 36, 39) | (15, 112, 113) | (16, 30, 34) | (16, 63, 65) | (17, 144, 145) | (18, 24, 30) | (18, 80, 82) | (19, 180, 181) | (20, 21, 29) | (20, 48, 52) | (20, 99, 101) | (21, 28, 35) | (21, 72, 75) | (21, 220, 221) | (22, 120, 122) | (23, 264, 265) | (24, 32, 40) | (24, 45, 51) | (24, 70, 74) | (24, 143, 145) | (25, 60, 65) | (25, 312, 313) | (26, 168, 170) | (27, 36, 45) | (27, 120, 123) | (27, 364, 365) | (28, 45, 53) | (28, 96, 100) | (28, 195, 197) | (29, 420, 421) | (30, 40, 50) | (30, 72, 78) | (30, 224, 226) | (31, 480, 481) | (32, 60, 68) | (32, 126, 130) | (32, 255, 257) | (33, 44, 55) | (33, 56, 65) | (33, 180, 183) | (33, 544, 545) | (34, 288, 290) | (35, 84, 91) | (35, 120, 125) | (35, 612, 613) | (36, 48, 60) | (36, 77, 85) | (36, 105, 111) | (36, 160, 164) | (36, 323, 325) | (37, 684, 685) | (38, 360, 362) | (39, 52, 65) | (39, 80, 89) | (39, 252, 255) | (39, 760, 761) | (40, 42, 58) | (40, 75, 85) | (40, 96, 104) | (40, 198, 202) | (40, 399, 401) |
고대 그리스의 위대한 수학자 유클리드는 위와 같은 피타고라스 3쌍을 구하는 방법을 얻었는데, 임의의 정수 m, n(m>n)에 대하여 a=2mn, b=m2-n2, c=m2+n2이라고 하면 a2+b2=c2이므로 (a, b, c)는 항상 피타고라스 3쌍이라는 것이다. 예를 들면 m=4, n=2이면 피타고라스 3쌍 (12, 16, 20)을 얻는다. 하지만 유클리드의 방법으로 모든 피타고라스 3쌍을 구할 수 있는 것은 아니다. 이를테면 (9, 12, 15)은 유클리드의 방법으로는 얻을 수 없는 피타고라스 3쌍이다. 따라서 위에 제시한 피타고라스 3쌍 가운데에는 유클리드의 방법으로 구할 수 있는 것과 그렇지 않은 것이 섞여 있다. 어느 것이 유클리드의 방법으로 구할 수 있는 것인지 여러분들이 한 번 찾아보기 바란다. |