파스칼도 몰랐던 -1 x -1 = 1인 이유? > 자유 게시판

음수와 음수를 곱하면 양수가 된다는데, 그냥 그렇다고 외우기만 했을 뿐, 그 이유를 생각해 보지 못했다. 음수끼리 더하면 여전히 음수인데 왜 곱하면 양수가 될까? 생각해 보면, 곱이 양수가 되는 것은커녕 음수끼리 어떻게 곱할 수 있는지도 이해하기 어렵다. 음수와 음수의 곱은 도대체 무엇일까?

스탕달(Stendhal. 1783-1842)과 파스칼(Blaise Pascal. 1623-1662)

빚과 이익 모델을 써서 곱하기를 하려고 하면, 양수 곱하기 양수를 설명할 때부터 벌써 삐걱거리기 시작한다. 이 모델대로라면 ‘이익’에 ‘이익’을 곱하면 ‘이익’이라는 말인데 과연 그럴까? 100원짜리가 10개 있으면 1,000원(100 × 10 = 1,000)이므로 양수를 곱하면 양수라는 것은 얼핏 보면 그럴듯한 설명처럼 보인다. 그런데 잘 들여다보면 앞의 100의 단위는 ‘원’이지만, 뒤의 10은 단위가 ‘개수’임을 알 수 있다. 앞의 100원은 ‘이익’이라 불러도 괜찮지만, 뒤의 10개는 ‘이익’이라고 해석하기 곤란한 것이다. 따라서 빚에 빚을 곱하는 것은 고사하고, 이익에 이익을 곱한다는 것부터가 어불성설임을 알 수 있다.

‘이익의 곱은 이익’이라는 말은 틀린 ‘해석’이지만, 빚과 이익 모델로도 일단 양수 곱하기 양수가 양수라는 것을 설명하는 데는 별 문제가 없다. 한편, 이 모델로 음수 곱하기 양수가 음수라는 것도 설명할 수 있다. 예를 들어, 천 원을 빚진 사람이 열 명이면, 전체 빚이 만원임을 안다. 식으로 쓰면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

이와 같이 음수 곱하기 양수와 양수 곱하기 음수가 음수라는 것을 설명할 수 있기 때문에 (역시 ‘빚 곱하기 이익이 빚’이라는 얘기는 아니다) 곱셈일 때도 완전히 폐기처분하기에 아까운 모델이기는 하다. 그렇지만 이 모델은 ‘음수 곱하기 음수’를 잘 설명할 수 없다는 것이 결정적 약점이다. 무엇보다 사람수나 개수에는 음수가 없기 때문이다. 물론 이해해 볼 방법이 없는 것은 아닌데, 조금 뒤로 미루자.

위의 곱셈표를 보자. 가로줄을 보면, 곱해지는 수를 하나씩 줄임에 따라 곱셈의 결과도 일정하게 변한다. 세로줄을 보면 곱하는 수를 하나씩 줄임에 따라 역시 일정하게, 첫 번째 세로줄은 2씩 줄고, 두 번째 줄은 1씩 줄고, 세 번째 줄은 0으로 변함이 없고, 네 번째 줄은 1씩 늘고, 다섯 번째 줄은 2씩 늘고 있다. 따라서 다음 가로줄을 만들면 아래와 같이 되어야 원래의 규칙이 유지된다.

이로부터 음수에 음수를 곱하면 양수가 되는 것이 매우 자연스럽다는 것을 알 수 있다. (원한다면 두어 줄 더 계산해도 좋다.)

음수를 다루는 기본적인 방식 가운데 하나는 수에 방향성을 부여하는 것이다. 양수와 음수를 양의 방향과 음의 방향의 두 가지로 생각하면 모델링 하기에 편리하다. 우리가 잘 알고 있는 수직선(數直線)이 바로 그것이다. 수직선에서 3과 -3은 기준점이 되는 원점에서 같은 거리(양)만큼 떨어져 있지만 방향이 서로 반대여서 다른 수가 된다. 사실 수직선 모델이 나온 이후에야 비로소 파스칼처럼 음수의 존재 자체를 부정하는 경향이 사라졌다. 이 수직선 모델에서 2에 3을 곱하는 것은 2를 3번 더하는 것이므로, 수직선의 0에서 양의 방향으로 2칸씩 3번 이동한 결과로 생각할 수 있다.

같은 방식으로 2에 -3을 곱하는 것은 반대 방향으로 2칸씩 3번, 즉 -2만큼 움직이는 과정을 3번 반복한 것으로 생각할 수 있다. 즉, -2에 3을 곱하는 것과 마찬가지로 생각할 수 있다.

이제 (-2)×(-3)을 생각해 보면 -2의 반대 방향으로 3번 움직이는 것에 해당하고, 이것은 2를 3번 더한 것과 같아지므로, (-2)×(-3) = 6이 된다.

빚과 이익 모델로도 음수의 곱을 설명할 수 있다. 양수만 더하고 빼던 것을, 음수도 더하고 빼는 것으로 확장하는 것이다. 음수를 더하는 것은 빚이 늘어난다, 이익이 줄어든다는 뜻으로 해석하고, 음수를 뺀다는 것은 빚이 줄어든다, 즉, 이익이 늘어난다는 뜻으로 해석하는 것이 합리적이다. 특히 a가 양수일 때, -a를 뺀다는 것은 a만큼의 빚(즉, -a)이 줄었다는 뜻이므로, a만큼의 이익이 늘어났다는 뜻이다. 즉, -(-a) = a인 것이다. 또한 빚과 이익 모델에서 a와 b가 양수일 때 (-a) × b = -(a × b) = a × (-b)라는 것은 수긍할 수 있을 것이다. 음수의 곱셈이 기존의 셈법과 어울리려면 저 식이 b가 음수일 때도 (혹은 0일 때도) 성립하는 것이 바람직할 것이다. 따라서 b가 음수일 때 b = -c로 나타내면, c는 양수이고 (-a) × (-c) = a ×(-(-c)) = a × c여야만 한다. 즉, 음수 곱하기 음수는 양수가 되는 것이 합리적이다.

a ×0 = 0인 것도 마찬가지로 똑같이 보일 수 있다. 이제 본격적으로 (-a) × (-b) = ab를 증명하겠다. 그 증명은 아래와 같다.

이제 원하는 사실, (-a) × (-b) = ab의 증명이 끝났다.